হোমওয়ার্ক ভেবে সমাধান করা সেই অসম্ভব গণিত কী ছিল

কিছুদিন আগে ‘যে অঙ্কে হার মেনেছিলেন গণিতবিদেরা, সেটাই হোমওয়ার্ক ভেবে সমাধান করেছিলেন এক ছাত্র’ শিরোনামে একটা লেখা প্রকাশ করেছিলাম। সেখানে শুধু ওই গণিতবিদের গল্প বলা হলেও মূল প্রশ্ন নিয়ে ছিল না কোনো আলোচনা। আসলে মূল প্রশ্ন দুটি একটু বেশিই জটিল বলে তা ইচ্ছে করেই এড়িয়ে গিয়েছিলাম। কিন্তু লেখাটি পড়ে অনেক পাঠকই প্রশ্ন তুলে বলেছেন ‘গল্পটা তো বেশ জমজমাট শোনালেন, কিন্তু আসল জিনিসটাই তো গায়েব! ব্ল্যাকবোর্ডে ঠিক কোন অঙ্কের সমীকরণ লেখা ছিল, সেটাই তো বললেন না! সেটা কীভাবে সমাধান করেছিলেন ওই তরুণ ছাত্র?’

পাঠকের এই কৌতূহল খুবই যৌক্তিক। তাই এই পর্বে আমরা সেই সমস্যা দুটি নিয়ে আলোচনা করব। যারা আগের পর্ব পড়েননি, তাঁরা চাইলে ওপরের শিরোনাম লিখে সার্চ করে গল্পটা পড়ে নিতে পারেনন। কমেন্টেও লিংক দেওয়া থাকবে। অবশ্য আগের পর্ব না পড়লেও এই পর্ব বুঝতে কোনো সমস্যা হবে না।

দুই

১৯৩৯ সাল। ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের বার্কলি ক্যাম্পাসে ক্লাস নিচ্ছেন পরিসংখ্যানের দিকপাল অধ্যাপক জের্জি নেইম্যান। ব্ল্যাকবোর্ডে তিনি দুটি সমস্যা লিখে রেখেছেন। এগুলো কোনো সাধারণ বীজগণিত বা জ্যামিতির সমীকরণ নয়। এই দুটি সমীকরণ পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত গ্রহণ তত্ত্বের দুটি বিশাল গাণিতিক ধাঁধা।

সেই ধাঁধা বুঝতে হলে একটা উদাহরণ দিতে হবে। বাস্তব উদাহরণ ছাড়া এই সমস্যার কোনো কূলকিনারা পাওয়া যাবে না। ধরুন, বিচারের কাঠগড়ায় একজন আসামি দাঁড়িয়ে আছে। বিচারকের সামনে দুটো পথ খোলা। হয় আসামিকে দোষী সাব্যস্ত করে সাজা দেওয়া, নয়তো নির্দোষ ঘোষণা করে সসম্মানে ছেড়ে দেওয়া। এখানে বিচারক চাইলেও জাদুর কাঠির ছোঁয়ায় শতভাগ সত্যিটা জানতে পারবেন না। তাঁকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে প্রমাণের ওপর ভিত্তি করে। আর এই সিদ্ধান্ত নিতে গিয়ে তিনি দুই ধরনের ভুল করতে পারেন।

প্রথম ভুল: একজন সম্পূর্ণ নির্দোষ মানুষকে ভুল করে জেলে পাঠানো।

দ্বিতীয় ভুল: একজন ভয়ংকর অপরাধীকে প্রমাণের অভাবে বেকসুর খালাস দেওয়া।

পরিসংখ্যানের ভাষায় এই দুটি ভুলকে বলা হয় ‘টাইপ ১ এরর’ এবং ‘টাইপ ২ এরর’। অধ্যাপক জের্জি নেইম্যান এবং তাঁর সহকর্মী ইগন পিয়ারসন মিলে পরিসংখ্যানের জগতে একটা যুগান্তকারী থিওরি দিয়েছিলেন। সেই থিওরির নাম ‘নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা’। এই গাণিতিক সূত্রটির কাজ ছিল, আদালতে বা বিজ্ঞানের গবেষণায় এমন একটা নিখুঁত সিদ্ধান্ত নেওয়ার পথ তৈরি করা, যেখানে ‘টাইপ ১ ইরর’-এর মাত্রা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে রেখে ‘টাইপ ২ ইরর’ যতটা সম্ভব কমানো যায়। একে বলা হতো মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট।

কিন্তু সমস্যা বাধল অন্য জায়গায়। সাধারণ পরিস্থিতিতে নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা জাদুর মতো কাজ করলেও, পরিস্থিতি একটু জটিল হলেই এটি খাবি খেতে শুরু করল। ধরুন, আসামির বিরুদ্ধে শুধু একটা নয়, অসংখ্য এলোমেলো অভিযোগ আছে। কিংবা আপনি এমন একটা কারখানার মালিক, যাকে হাজার হাজার পণ্যের মধ্যে থেকে ত্রুটিপূর্ণ পণ্য খুঁজে বের করতে হবে, কিন্তু আপনার কাছে সুনির্দিষ্ট কোনো তথ্য নেই।

পরিসংখ্যানে এ ধরনের জটিল ও অস্পষ্ট পরিস্থিতিকে বলা হয় কম্পোজিট হাইপোথিসিস। এই জটিল পরিস্থিতিতে সবচেয়ে নিখুঁত সিদ্ধান্ত নেওয়ার গাণিতিক উপায় কী? আদৌ কি এমন কোনো সার্বজনীন সূত্র আছে, যা সব ধরনের জটিল পরিস্থিতিতে সেরা সিদ্ধান্ত দিতে পারবে?

দশকের পর দশক ধরে বিশ্বের বাঘা বাঘা গণিতবিদ ও পরিসংখ্যানবিদেরা এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজছিলেন। কেউই কোনো নির্দিষ্ট সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারছিলেন না। ঠিক এই অমীমাংসিত প্রশ্ন দুটোই সেদিন ক্লাসের ব্ল্যাকবোর্ডে লিখে রেখেছিলেন অধ্যাপক নেইম্যান। তিনি হয়তো ছাত্রদের বোঝাতে চেয়েছিলেন, ‘দেখো বাছারা, পরিসংখ্যানের জগতেও এমন কিছু জায়গা আছে, যেখানে আমরা এখনো অন্ধকারে হাতড়ে বেড়াচ্ছি।’

কিন্তু এসব কথা বলার সময় জর্জ ড্যান্টজিগ ক্লাসরুমে ছিলেন না। তিনি তখনো করিডোর ধরে দৌড়াচ্ছেন।

তিন

জর্জ ড্যান্টজিগ হাঁপাতে হাঁপাতে ক্লাসে ঢুকলেন। ততক্ষনে স্যার নেইম্যান বোর্ডের ওই সমীকরণগুলো নিয়ে আলোচনা শেষ। ড্যান্টজিগ দেখলেন বোর্ডে দুটো খটমটে প্রশ্ন। তিনি ভাবলেন, ‘স্যার বুঝি আজ একটু কঠিন হোমওয়ার্ক দিয়েছেন!’

ড্যান্টজিগ যখন বাসায় গিয়ে খাতা-কলম নিয়ে বসলেন, তিনি জানতেনই না যে কী মেলাতে বসেছেন। তিনি খুনাক্ষরে টের পাননি, তিনি যে সেরা সূত্র খুঁজছেন, তা দুনিয়ার কেউ বের করতে পারেনি।

তাহলে তিনি মেলালেন কীভাবে? এখানেই আসে গণিতের সেই আসল ম্যাজিক! ড্যান্টজিগ সেই চিরাচরিত পথে হাঁটেননি, যে পথে অন্য গণিতবিদেরা বছরের পর বছর হেঁটে ব্যর্থ হচ্ছিলেন। অন্য সবাই চেষ্টা করছিল একটা সূত্র আবিষ্কার করতে। আর ড্যান্টজিগ একটু অন্যভাবে চিন্তা করলেন। তিনি ভাবলেন, ‘আচ্ছা, এমন কোনো সেরা সূত্র কি আদৌ থাকা সম্ভব?’

তিনি খাতা-কলম নিয়ে বসলেন। তাঁর প্রথম সমস্যাটি ছিল এমন একটি পরিস্থিতি নিয়ে, যেখানে উপাত্তের গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই ছিল অজানা। এখানে ভেদাঙ্ক একটু বুঝে নেওয়া দরকার। ধরুন, আপনার দুই ভাতিজার পরীক্ষার নাম্বার যথাক্রমে নিচে দেওয়া আছে।

প্রথম ভাতিজা: ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২

দ্বিতীয় ভাতিজা: ২০, ৩৫, ৫০, ৬৫, ৮০

খেয়াল করে দেখুন, দুই ভাতিজার গড় নম্বর ৫০। কিন্তু প্রথম ভাতিজার নম্বরগুলো ৫০-এর খুব কাছাকাছি। অথচ দ্বিতীয় ভাতিজার নম্বরগুলো ৫০ থেকে অনেক দূরে ছড়িয়ে আছে। অর্থাৎ ভেদাঙ্ক হলো সংখ্যাগুলো গড়ের চারপাশে কতটা ছড়িয়ে আছে, তার একটা মাপ।

এবার আগের কথাটাইয় একটু নজর দিন—তাঁর প্রথম সমস্যাটি ছিল এমন একটি পরিস্থিতি নিয়ে, যেখানে উপাত্তের গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই ছিল অজানা। এই বিষয়টা একটু সহজ করে বোঝা যাক। ধরুন, আপনি একটা নতুন গ্রহে গেছেন। সেখানে এলিয়েনদের উচ্চতা মাপছেন। আপনি জানেন না তাদের গড় উচ্চতা কত। আবার এটাও জানেন না যে তাদের উচ্চতা কতটা ওঠানামা করে; মানে কেউ হয়তো অনেক লম্বা, আবার কেউ অনেক খাটো।

এই অজানা পরিস্থিতিতে আপনি যদি কোনো সিদ্ধান্ত নিতে চান—যেমন এই গ্রহের এলিয়েনরা কি মানুষের চেয়ে লম্বা—তাহলে কি এমন কোনো ‘ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট’ আছে, যা সবসময় আপনাকে সবচেয়ে নির্ভুল উত্তর দেবে?

ড্যান্টজিগ জ্যামিতি ও ক্যালকুলাসের সাহায্যে প্রমাণ করতে শুরু করলেন। তিনি বেশ কিছু জটিল গাণিতিক শর্ত তৈরি করলেন। নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (ঘণ্টার মতো দেখতে একটা গ্রাফ) ব্যবহার করে দেখালেন, যখন গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই অজানা থাকে, তখন এমন কোনো সর্বজনীন সূত্র থাকা গাণিতিকভাবেই অসম্ভব!

সহজ কথায়, তিনি প্রমাণ করে দিলেন, আপনারা যে জাদুর কাঠি খুঁজছেন, সেই জাদুর কাঠিটার কোনো অস্তিত্বই নেই!

চার

গণিতে কোনো কিছুর ‘অস্তিত্ব নেই’ বা কোনো কিছু ‘অসম্ভব’—এটা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা দুনিয়ার সবচেয়ে কঠিন কাজগুলোর একটি। আপনাকে সম্ভাব্য সব রকম সমীকরণ বসিয়ে দেখাতে হবে, কোনোভাবেই এটা মেলানো যায় না। ড্যান্টজিগ ঠিক এই অসম্ভব কাজটিই করেছিলেন।

তাঁর দ্বিতীয় সমস্যাটি ছিল নেইম্যান-পিয়ারসন লেমার একটি সাধারণীকরণ নিয়ে। সেটির সমাধানও তিনি করেছিলেন। তবে এই ফলটি পরে আব্রাহাম ওয়াল্ড স্বাধীনভাবেও পান। শেষ পর্যন্ত ১৯৫১ সালে ড্যান্টজিগ ও ওয়াল্ডের যৌথ গবেষণাপত্র হিসেবে ফলটি প্রকাশিত হয়। সেখানেও তিনি সফলভাবে প্রমাণ করেছিলেন, নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্টের অস্তিত্ব নেই।

তিনি যখন তাঁর এই হোমওয়ার্ক স্যারের টেবিলে জমা দিলেন, স্যার তেমন পাত্তা দিলেন না। কিন্তু পরে যখন তিনি খাতাটা খুলে দেখলেন, তাঁর চোখ কপালে উঠে গেল। ড্যান্টজিগ শুধু যে সমীকরণগুলোর সমাধান করেছেন তা-ই নয়, তিনি এমন একটা গাণিতিক প্রমাণের জন্ম দিয়েছেন, যা পরিসংখ্যানের ইতিহাস চিরদিনের জন্য বদলে দিয়েছে।

নেইম্যান সঙ্গে সঙ্গে ড্যান্টজিগের এই কাজ একটি গবেষণাপত্র আকারে লিখে জার্নালে পাঠিয়ে দেন। পরে এই দুটি হোমওয়ার্কের সমাধানই ড্যান্টজিগের পিএইচডি থিসিস হিসেবে গৃহীত হয়।

পাঁচ

আজকের দিনে দাঁড়িয়ে আমরা যখন কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা, মেশিন লার্নিং বা বড় বড় ডেটা অ্যানালাইসিস নিয়ে কাজ করি, তখনো আমাদের প্রতিনিয়ত সিদ্ধান্ত নিতে হয়। ভুল ও শুদ্ধের মধ্যে পার্থক্য করতে হয়। ড্যান্টজিগের সেই আবিষ্কার আজও বিজ্ঞানীদের বলে দেয়, কোন পরিস্থিতিতে নিখুঁত সিদ্ধান্ত নেওয়া সম্ভব আর কোন পরিস্থিতিতে আমাদের বিকল্প রাস্তার কথা ভাবতে হবে।

কেউ যদি সেদিন ড্যান্টজিগকে বলে দিত, ‘ভাই, এই অঙ্ক মেলানো দুনিয়ার কারও পক্ষে সম্ভব হয়নি, তুমিও পারবে না’, তাহলে হয়তো তিনি খাতাটা খুলেও দেখতেন না। কিন্তু কেউ যেহেতু তাঁকে এমন কথা বলেনি, তাই তিনি ভয় পাননি। শুধু নিজের মতো চেষ্টা করে গেছেন এবং সফল হয়েছেন।

ড্যান্টজিগ সেদিন ব্ল্যাকবোর্ডে যা দেখেছিলেন, তা কোনো সাধারণ যোগ-বিয়োগের অঙ্ক ছিল না। সেগুলো ছিল পরিসংখ্যানের স্ট্যাটিস্টিক্যাল ডিসিশন থিওরির জটিল সমস্যা। কিন্তু গণিতের দুনিয়ায় এমন অনেক সমস্যা আছে, যেগুলো দেখতে ক্লাস ফাইভ-সিক্সের অঙ্কের মতো মনে হলেও, আদতে সেগুলো একেকটা গোলকধাঁধা। গণিতের ভাষায় এগুলোকে বলা হয় অমীমাংসিত সমস্যা।

এখন সেরকম দুয়েকটা সমস্যা দেখা যাক। তাহলে ড্যান্টজিগের সমস্যা বুঝতে সুবিধা হবে। শুরুতে সহজ একটা সমস্যার কথা বলি। যেকোনো একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ধরে নিন। ১, ২, ৩...যা ইচ্ছা। আপনার ধরে নেওয়া সংখ্যাটা যদি বিজোড় হয়, তবে তাকে ৩ দিয়ে গুণ করে ১ যোগ করবেন। আর যদি সংখ্যাটা জোড় হয়, তবে ২ দিয়ে ভাগ করবেন। এরপর যে নতুন সংখ্যাটা পাবেন, তার ওপর আবার একই নিয়ম খাটাবেন।

উদাহরণ দিয়ে বোঝানো যাক। ধরুন, আপনি সংখ্যাটি নিলেন ১। এটি বিজোড় সংখ্যা। তাহলে নিয়ম অনুযায়ী: (৩ × ১) + ১ = ৪। এবার পেলেন ৪, যা জোড় সংখ্যা। নিয়ম অনুযায়ী একে ২ দিয়ে ভাগ করুন: ৪ ÷ ২ = ২। এটিও জোড় সংখ্যা। তাই ২ দিয়ে আবার ভাগ করুন। এবার পেলে ২ ÷ ২ = ১। দেখুন, আমরা আবার ১-এ ফিরে এসেছি! এখন আপনি যতবারই এই প্রক্রিয়া চালাবেন, সেই ১, ৪, ২, ১, ৪, ২, ১... এভাবেই চক্রাকারে ঘুরতে থাকবে।

অন্য একটা সংখ্যা নিয়েও পরীক্ষা করে দেখতে পারেন। এবার যদি ৫ ধরে নিই, তাহলে নিয়ম অনুযায়ী (৩ × ৫) + ১ = ১৬। আবার ১৬-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ৮। ৮-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ৪। ৪-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ২ এবং ২-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ১। আবার সেই ১, ৪, ২, ১-এর চক্র!

গণিতবিদেরা বিশ্বাস করেন, আপনি শুরুতে যে সংখ্যাই নিন না কেন, শেষমেশ এই প্রক্রিয়াটি ওই ১, ৪, ২, ১, ৪, ২, ১-এর চক্রেই এসে থামবে। কিন্তু মজার ব্যাপার হলো, ১৯৩৭ সালে লোথার কোলাজ এই প্রশ্নটি তোলার পর থেকে আজ পর্যন্ত কেউ গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে পারেননি, এটা সত্যিই সবসময় ঘটবে!

কেন্টাকি বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের অধ্যাপক বেঞ্জামিন ব্রাউন তাঁর ক্লাসে প্রায়ই শিক্ষার্থীদের এই অমীমাংসিত সমস্যাগুলো হোমওয়ার্ক হিসেবে দেন। তবে তিনি শুরুতে তাদের বলেন না, এগুলো দুনিয়ার কেউ সমাধান করতে পারেনি। তিনি দেখতে চান, শিক্ষার্থীরা কীভাবে এর মোকাবিলা করে।

অধ্যাপক ব্রাউনের মতে, আমরা সাধারণত ভাবি যে গণিতের সব সমস্যারই একটা নির্দিষ্ট উত্তর আছে। কিন্তু শিক্ষার্থীরা যখন জানতে পারে যে তারা এমন একটা সমস্যা নিয়ে ভাবছে, যার সমাধান দুনিয়ার কারো জানা নেই, তখন তাদের চিন্তার পরিধিটাই বদলে যায়। তারা শুধু উত্তর মেলানোর চিন্তায় আটকে না থেকে, সমস্যাটার গভীরে গিয়ে বোঝার চেষ্টা করে।

ড্যান্টজিগের গল্পেও আমরা তেমনটাই শিখেছি। ড্যান্টজিগ জানতেন না তাঁর সামনের সমস্যাটি অসম্ভব। তাই তিনি চিরাচরিত নিয়মের বাইরে গিয়ে চিন্তা করতে পেরেছিলেন। তিনি প্রমাণ করেছিলেন, নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে নিখুঁত সিদ্ধান্ত নেওয়ার কোনো সর্বজনীন সূত্র থাকা গাণিতিকভাবেই অসম্ভব!

অনেক কাজে আমরা হয়তো শুরুতেই হাল ছেড়ে দিই, ভেবে নিই এটা আমার দ্বারা হবে না। কিন্তু ড্যান্টজিগের মতো যদি আমরাও না জানি যে কাজটা কতটা কঠিন, তাহলে হয়তো আমরাও আমাদের নিজেদের মতো করে একটা সমাধান বের করে ফেলতে পারব। কে বলতে পারে, আপনার ওই অসম্ভব সমস্যাটাই হয়তো একদিন জীবনের সবচেয়ে বড় সাফল্যের গল্প হয়ে উঠবে! 

সূত্র: ১. দ্য আনসলভড ম্যাথ প্রবলেমস দ্যাট আ স্টুডেন্ট সলভড অ্যাজ হোমওয়ার্ক

২. ম্যাথ এডুকেশন ডটকম

৩. ম্যাথ হিস্ট্রি ডটকম